Lecture 17: Principal Component Regression and Partial Least Squares
University of British Columbia Okanagan
We spent much of this course in supervised learning which tries to learn the mapping between the \(\mathbf X\) and \(\mathbf y\).
\[ \mathbf X \rightarrow \mathbf y \]
In unsupervised learning we have no \(\mathbf y\) (“answers”) that we are aiming to predict; rather, we try to learn hidden patterns, structures, or relationships in the data
\[ \mathbf X \phantom{\rightarrow \mathbf y} \]
Clustering seeks to partition a dataset into groups (clusters) based on the characteristics of the variables, without relying on predefined categories.
\[ \begin{array}{c} \text{cluster 1} \big[\\ \text{cluster 2} \big[\\ \text{cluster 3} \big[ \end{array} \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{cluster 1}} \\[8pt] \mathbf X \\[8pt] \phantom{\text{cluster 3}} \end{array} \right) \]
Dimensionality Reduction aims to simplify a dataset by reducing the number of variables (e.g. \(p\) features to \(q\)) while preserving as much relevant information as possible.
\[ \underbrace{ \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{cluster 1}} \\[8pt] \mathbf X \\[8pt] \phantom{\text{cluster 3}} \end{array} \right) }_{\text{reduce}} \]
Dimensionality Reduction aims to simplify a dataset by reducing the number of variables (e.g. \(p\) features to \(q\)) while preserving as much relevant information as possible.
\[ \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{cluster 1}} \\[8pt] \mathbf X_{n\times p} \\[8pt] \phantom{\text{cluster 3}} \end{array} \right) \underset{\text{transform}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{ 111}} \\[8pt] \mathbf{X}\mathbf{P}_{n \times M} \\[8pt] \phantom{\text{ 3}} \end{array} \right) \underset{\text{reduce}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{ 111}} \\[8pt] \mathbf{S}_{n \times q} \\[8pt] \phantom{\text{ 3}} \end{array} \right) \]
where \(\mathbf{P}\) is a \(p \times M\) matrix of eigenvectors (loadings) and \(\mathbf{S} = \mathbf{X}\mathbf{P}\), these are the scores.
\[ \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{cluster 1}} \\[8pt] \mathbf X_{n\times p} \\[8pt] \phantom{\text{cluster 3}} \end{array} \right) \underset{\text{reduce}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{ 111}} \\[8pt] \mathbf{S}_{n \times q} \\[8pt] \phantom{\text{ 3}} \end{array} \right) \]
Dimensionality reduction vs feature selection
Unlike feature selection where we select important features, dimensionality reduction transforms the original features into a lower-dimensional space, creating new features that are combinations of the original ones.
Today we’ll be looking at the scenario where we reduce the dimension of our \(\mathbf{X}\) and use the smaller matrix \(\mathbf{S}_{n \times q}\) as our predictors for regression using: Principal Components Regression and Partial Least Squares
\[ \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{cluster 1}} \\[8pt] \mathbf X_{n\times p} \\[8pt] \phantom{\text{cluster 3}} \end{array} \right) \underset{\text{reduce}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{ 111}} \\[8pt] \mathbf{S}_{n \times q} \\[8pt] \phantom{\text{ 3}} \end{array} \right) \rightarrow \mathbf y \]
PCA (Principal Component Analysis) is a dimensionality reduction technique used to transform a dataset into a set of \(M\) linearly uncorrelated components (principal components), which explain the maximum variance in the data.1
can be use as a stand-alone method to understand the data
or as a preprocessing step to reduce noise or redundancy in the data
\(\mathbf{S}_{n \times q}\) can now be used for downstream machine learning.
When used in regression it is called Principal Components Regression, or PCR for short.
The benefits of using \(\mathbf{S}_{n \times q}\) instead of \(\mathbf{X}_{n \times p}\) include:
✅ less parameters
✅ no multicollinearity
✅ reduced noise
❌ less interpretible
Construct the PC: perform eigen decomposition on \(\boldsymbol{\Sigma}_{p \times p}\), the covariance matrix of \(\mathbf{X}_{n\times p}\)1, \[\boldsymbol{\Sigma} \approx \mathbf{P} \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{P}'\]
Reduce: Retain \(q\) PC2 and calculate the scores using:
\[ \mathbf{S}_{n\times q} = \mathbf{X}_{n\times p}\mathbf{P}_{p \times q} \]
If we have a continuous response variable \(Y\) we can easily assume the following model for linear regression \[Y = \beta_0 + \beta_1 S_1 + \beta_2 S_2 + \cdots + \beta_q S_q + \epsilon\] with all the usual linear regression assumptions (for inferential purposes). And that’s all there is to it!
If your retain all PC (i.e. \(q=M=p\)), then the model is equivalent to ordinary least squares (OLS) on the original \(p\) predictors.
Obviously the estimated coefficients differ, but your predictions \(\hat Y\) would be the same.
However, you’ve just taken care of the problem of multicollinearity!
Purpose of PCR
What is the primary reason for using PCA in Principal Component Regression (PCR)?
To ensure that all predictors are equally weighted in the model.
To remove irrelevant features from the dataset.
To transform the predictors into uncorrelated components and reduce dimensionality. ✅
To improve the interpretability of the regression coefficients.
Limitations of PCR
What is a key limitation of interpreting Principal Component Regression (PCR) results?
The regression coefficients are affected by multicollinearity.
The response variable is ignored when selecting principal components.
The model is sensitive to outliers in the data.
Principal components are linear combinations of original predictors, making the results less interpretable. ✅
Let’s add a \(Y\) response variable
...
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.007547 0.038730 0.195 0.847
x1 -2.040311 0.043519 -46.883 <2e-16 ***
x2 1.020113 0.022127 46.103 <2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.1199 on 37 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9835, Adjusted R-squared: 0.9826
F-statistic: 1100 on 2 and 37 DF, p-value: < 2.2e-16
...
...
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.08484 0.14517 0.584 0.562
PC1_scores 0.00834 0.02419 0.345 0.732
Residual standard error: 0.9181 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.003117, Adjusted R-squared: -0.02312
F-statistic: 0.1188 on 1 and 38 DF, p-value: 0.7322
...
...
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.08484 0.02039 4.161 0.000174 ***
PC2_scores 2.28110 0.05241 43.527 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.1289 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9803, Adjusted R-squared: 0.9798
F-statistic: 1895 on 1 and 38 DF, p-value: < 2.2e-16
...
Note that scaling does not fix the problem …
...
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.08484 0.14463 0.587 0.561
scaledPC1_scores 0.06621 0.10390 0.637 0.528
Residual standard error: 0.9147 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.01057, Adjusted R-squared: -0.01546
F-statistic: 0.4061 on 1 and 38 DF, p-value: 0.5278
...
...
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 0.08484 0.02394 3.543 0.00107 **
scaledPC2_scores 7.89705 0.21389 36.921 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.1514 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9729, Adjusted R-squared: 0.9722
F-statistic: 1363 on 1 and 38 DF, p-value: < 2.2e-16
...
Assumption of PCR
What is the key assumption underlying Principal Component Regression?
The predictors are linearly independent.
Most of the information relevant to the response variable is contained in the components explaining the largest variance. ✅
The response variable is normally distributed.
All principal components equally contribute to the prediction
Clearly PCR has some issues that need fixing…
One simple approach is to instead consider all \(p\) PCs, then perform standard stepwise regression procedures (or other variable selection or regularization technique).
This would fix the issue with our simulation, but would not cover all potential issues.
Leaving the problems aside for a moment, note that PCs can be used as predictors in any supervised context (random forests, neural nets, discriminant analysis, etc).
Another approach is to somehow consider the response variable \(Y\) while performing the PCA in the first place!
Partial Least Squares (PLS) does exactly this.
It seeks linear combos of predictors that have high variance AND high correlation with \(Y\).
Just like PCA, it is not scale invariant. Therefore, the predictors are generally scaled to have mean 0 variance 1.
From Elements of Statistical Learning (for the interested reader only)
We do this in R using the plsr
function from the pls package
The options for the method
argument include:
"kernelPLS"
(default): kernelized version of PLS."simpls"
: uses the SIMPLS (SIMultaneous PLS) algorithm"oscorespls"
: computes orthogonal scores during the PLS iterations"simpls.linear"
variant of SIMPLS that ensures the weights of the X and Y variables are orthogonal.Notice that the % variance explained
in the PLS output is the equivalent to the R-squared value obtained when regressing y
on the first two PLS components:
...
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) -3.007e-15 1.895e-02 0.000 1
plsmod$scores[, 1] 2.935e-02 4.800e-03 6.114 4.4e-07 ***
plsmod$scores[, 2] 1.491e+00 3.206e-02 46.496 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 0.1199 on 37 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.9835, Adjusted R-squared: 0.9826
F-statistic: 1100 on 2 and 37 DF, p-value: < 2.2e-16
...
PCR vs PLS
How does PLS differ from Principal Component Regression (PCR)?
PLS transforms both \(\mathbf X\) and \(\mathbf y\) while PCR only transforms \(\mathbf y\) .
PLS maximizes the covariance between \(\mathbf X\) and \(\mathbf y\), while PCR selects components based only on the variance in \(\mathbf X\) ✅.
PLS is a classification technique, while PCR is a regression technique.
PLS uses nonlinear components, while PCR uses linear components.
Now we’ll look at application of Principal Component Regression (PCR) and Partial Least Squares Regression (PLSR) to a nutrition
dataset.
The goal is to predict the calories
variable based on other features (e.g. protein, calcium, fat, … )
You can download the data on my webpage: https://irene.vrbik.ok.ubc.ca/data/nutritrion.rdata
# remove name, calories (our Y response), and group
X <- nutrition[,-c(1,2, 28)]
# run PCA
nupca <- prcomp(X, scale.=TRUE) ; summary(nupca)
Importance of components:
PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6 PC7
Standard deviation 2.0905 1.6613 1.45197 1.2787 1.24728 1.17387 1.13369
Proportion of Variance 0.1748 0.1104 0.08433 0.0654 0.06223 0.05512 0.05141
Cumulative Proportion 0.1748 0.2852 0.36953 0.4349 0.49715 0.55227 0.60368
PC8 PC9 PC10 PC11 PC12 PC13 PC14
Standard deviation 1.07393 0.98081 0.95224 0.92905 0.85969 0.83157 0.78987
Proportion of Variance 0.04613 0.03848 0.03627 0.03453 0.02956 0.02766 0.02496
Cumulative Proportion 0.64982 0.68830 0.72457 0.75909 0.78865 0.81631 0.84127
PC15 PC16 PC17 PC18 PC19 PC20 PC21
Standard deviation 0.77604 0.76121 0.70758 0.64976 0.62872 0.59025 0.5678
Proportion of Variance 0.02409 0.02318 0.02003 0.01689 0.01581 0.01394 0.0129
Cumulative Proportion 0.86536 0.88854 0.90856 0.92545 0.94126 0.95520 0.9681
PC22 PC23 PC24 PC25
Standard deviation 0.53484 0.46515 0.40082 0.36685
Proportion of Variance 0.01144 0.00865 0.00643 0.00538
Cumulative Proportion 0.97954 0.98819 0.99462 1.00000
To explain 65% of the variation we retrain 8 PCs
PC1 PC2 PC3 PC4 PC5 PC6 PC7 PC8
1 -0.17 3.99 6.03 0.64 -2.65 5.49 4.69 1.68
2 -0.17 3.95 5.97 0.63 -2.61 5.43 4.64 1.67
3 0.12 4.85 7.28 0.73 -3.49 6.89 5.52 2.01
4 0.65 1.89 2.66 0.33 0.55 0.87 1.63 0.29
5 0.62 1.90 2.97 0.36 0.82 0.91 1.50 0.42
6 0.30 2.13 1.85 0.06 -0.22 1.21 1.19 0.49
7 0.42 1.75 1.93 0.20 0.49 0.74 1.27 0.28
9 0.87 2.13 3.40 0.46 0.78 1.06 1.68 0.39
11 0.76 2.01 3.20 0.41 0.72 1.05 1.59 0.39
12 -1.35 0.21 0.08 -0.20 0.54 -0.19 0.05 -0.18
13 -1.41 0.19 0.02 -0.20 0.41 -0.08 0.04 -0.16
14 -1.35 -0.02 -0.14 -0.19 0.69 -0.45 -0.09 -0.17
15 -1.36 0.15 -0.03 -0.19 0.59 -0.32 -0.05 -0.19
16 -1.42 0.16 -0.16 -0.24 0.58 -0.34 -0.11 -0.24
17 -0.81 1.52 2.26 0.11 -0.56 1.96 1.75 0.59
18 0.89 1.90 3.01 0.37 1.11 0.59 1.33 0.36
19 0.92 1.77 1.45 0.52 0.58 0.53 1.38 0.51
20 0.41 2.23 2.97 0.23 0.49 1.04 1.33 0.48
22 0.80 1.99 3.04 0.35 1.06 0.57 1.28 0.39
23 1.24 2.13 3.65 0.53 1.45 0.57 1.48 0.29
24 0.45 1.82 2.37 0.34 0.59 0.80 1.49 0.43
25 0.74 1.94 3.11 0.42 0.86 0.88 1.49 0.31
26 0.15 1.64 2.13 0.13 0.79 0.46 0.81 0.43
27 0.22 1.62 2.54 0.29 0.79 0.62 1.23 0.24
28 0.33 1.17 2.08 0.29 1.50 -0.15 0.76 0.00
29 0.61 1.44 2.19 0.33 1.38 -0.09 0.75 0.18
30 0.67 1.94 3.11 0.36 0.91 0.89 1.51 0.43
32 1.78 2.17 3.66 0.68 1.98 -0.12 1.50 0.34
33 1.53 1.77 3.59 0.74 2.03 -0.16 1.52 -0.01
34 0.41 1.89 2.75 0.20 0.82 0.83 1.23 0.45
35 0.74 1.77 2.95 0.40 1.14 0.54 1.33 0.27
36 -0.95 0.74 0.95 -0.10 0.32 0.48 0.47 0.08
37 -0.98 0.37 0.67 -0.10 0.63 0.06 0.18 -0.04
38 1.41 1.84 3.61 0.74 1.92 -0.07 1.69 0.13
40 1.02 2.06 3.05 0.29 1.11 0.66 0.94 0.56
42 1.12 2.17 3.41 0.74 1.93 -0.18 2.50 -0.06
43 0.84 1.94 3.33 0.51 1.03 0.76 1.77 0.28
44 0.90 1.66 3.23 0.49 1.63 0.10 1.43 0.21
46 0.60 1.59 2.52 0.44 1.12 0.26 1.68 0.31
48 0.72 1.11 2.58 0.65 1.54 -0.13 1.63 0.08
49 -1.40 0.33 0.59 -0.11 0.18 0.60 0.55 0.10
50 -1.27 0.74 1.16 -0.04 -0.14 1.17 1.03 0.30
51 -1.09 1.40 2.04 0.05 -0.64 2.01 1.67 0.60
52 -0.97 1.73 2.50 0.11 -0.86 2.46 2.01 0.79
53 -1.18 0.76 1.47 0.03 -0.32 1.34 1.16 0.39
54 -1.41 0.35 0.65 -0.10 0.17 0.62 0.59 0.13
55 -1.19 0.70 1.15 -0.01 -0.07 1.11 1.01 0.24
56 -1.31 0.13 0.02 -0.20 0.54 -0.05 0.20 -0.01
57 -1.28 0.56 1.24 0.01 -0.19 1.12 1.01 0.14
59 -1.58 -0.12 0.09 -0.17 0.48 0.09 0.16 -0.13
61 -1.89 -0.26 0.16 -0.19 0.16 0.28 0.25 -0.10
63 -0.07 0.77 3.64 0.55 -1.29 2.50 2.79 0.84
64 -0.73 1.23 3.86 0.70 -2.07 3.22 2.94 0.97
65 -1.32 0.30 0.91 0.03 -0.13 0.76 0.87 0.11
66 -1.59 0.66 1.80 0.16 -0.85 1.79 1.46 0.34
67 -1.47 0.74 2.11 0.26 -1.08 2.06 1.68 0.47
68 -1.46 0.73 1.72 -0.04 -0.63 1.63 1.14 0.19
70 -1.54 -0.01 -0.12 -0.19 0.52 -0.09 0.17 -0.16
72 -1.52 -0.06 -0.21 -0.21 0.60 -0.16 0.10 -0.16
74 -1.42 -0.11 -0.15 -0.19 0.63 -0.19 0.10 -0.20
75 -1.55 -0.12 -0.27 -0.23 0.66 -0.23 0.06 -0.18
78 -1.55 -0.17 -0.35 -0.22 0.68 -0.30 0.01 -0.21
79 -1.51 -0.19 -0.32 -0.23 0.69 -0.28 0.03 -0.25
81 -1.63 -0.26 -0.20 -0.19 0.62 -0.17 0.01 -0.16
82 -1.59 -0.03 -0.06 -0.28 0.53 -0.04 0.19 -0.20
83 3.61 2.09 2.16 0.49 1.56 -0.68 2.42 0.02
84 4.18 -0.14 0.82 0.55 3.01 -2.39 0.40 0.26
85 4.73 0.82 0.19 0.52 3.30 -2.99 1.22 -0.27
87 4.07 0.29 1.09 0.59 2.70 -1.96 0.69 0.48
88 -0.36 -0.42 0.62 0.40 0.30 -0.12 0.64 0.52
89 -0.80 0.20 0.41 -0.06 0.69 -0.07 0.56 -0.15
90 -0.89 -0.21 -0.14 -0.13 1.03 -0.56 0.14 -0.30
91 -1.43 -0.17 -0.05 -0.15 0.48 -0.05 0.17 -0.13
92 -1.44 -0.26 -0.18 -0.14 0.52 -0.16 0.10 -0.11
93 -1.48 -0.33 -0.25 -0.15 0.57 -0.21 0.06 -0.15
95 -1.44 -0.03 0.02 -0.19 0.53 -0.02 0.28 -0.27
96 -1.94 -0.19 -0.11 -0.21 0.26 0.22 0.11 -0.07
99 -1.31 -0.36 -0.07 -0.05 0.49 -0.20 0.21 0.00
100 -1.36 -0.20 -0.06 -0.08 0.53 -0.19 0.24 -0.03
102 6.13 -1.74 1.49 1.56 4.50 -2.92 1.23 0.36
104 4.56 -1.18 -0.18 0.93 2.03 -1.95 1.17 0.60
105 -1.56 -0.11 0.00 -0.21 0.53 0.02 0.07 -0.09
106 -1.30 -0.20 -0.08 -0.18 0.73 -0.22 -0.02 -0.11
107 -1.25 -0.27 -0.17 -0.19 0.82 -0.34 -0.10 -0.14
108 -1.33 -0.31 -0.10 -0.13 0.65 -0.24 -0.02 -0.05
109 -1.47 -0.42 -0.15 -0.10 0.54 -0.21 0.00 0.00
110 -1.40 -0.42 -0.13 -0.10 0.57 -0.23 -0.01 0.00
112 -0.34 1.81 0.15 -0.44 0.61 -0.19 0.06 0.85
113 -1.41 0.13 -0.50 -0.34 0.35 -0.27 -0.17 -0.15
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115 1.45 4.59 1.08 -0.55 0.76 -0.09 0.47 2.44
116 1.13 3.92 1.05 -0.47 0.72 0.00 0.28 2.52
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959 -0.33 1.85 1.43 -0.17 -0.73 1.29 1.00 0.02
960 1.20 2.76 1.11 -0.26 -0.95 0.98 0.90 -0.25
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966 2.87 3.74 -1.65 -0.58 0.66 -0.89 -1.24 2.71
967 5.04 4.35 -5.06 -0.48 2.80 1.60 -0.01 6.19
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2707 1.00 2.00 0.03 -0.21 -0.55 -0.21 -0.38 -0.73
2708 1.36 2.01 -0.44 -0.16 -0.59 -0.53 -0.31 -0.90
2709 0.72 1.24 -0.88 -0.10 -0.38 -0.67 -0.25 -1.18
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2711 1.20 1.58 -0.80 -0.12 -0.49 -0.81 -0.33 -1.25
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4505 1.32 2.92 -0.49 -0.80 1.22 -0.90 -0.70 1.98
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4997 2.59 -0.47 1.64 -0.24 1.16 -1.38 -1.66 -0.93
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6378 -1.81 -0.63 -0.15 -0.13 0.32 0.03 -0.30 -0.06
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6385 -1.29 -0.70 -0.32 -0.14 0.03 -0.03 -0.26 -0.24
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7476 0.87 1.81 -0.29 -0.59 -0.15 -0.19 -0.73 -0.75
7479 0.80 1.71 -0.31 -0.63 -0.04 -0.32 -0.90 -0.78
7481 0.32 1.25 -0.45 -0.59 0.23 -0.31 -0.98 -0.57
7483 0.74 1.96 0.08 -0.74 0.11 -0.39 -1.53 -0.27
7488 0.97 1.81 -0.38 -0.61 -0.10 -0.28 -0.81 -0.84
7593 -1.57 -0.29 -0.24 -0.35 0.37 0.12 -0.06 -0.16
7609 -0.60 -0.18 0.39 0.12 -0.12 0.19 0.53 -0.24
8202 -1.13 -0.08 -0.24 -0.24 0.38 0.19 -0.12 -0.14
8215 -0.63 0.22 0.07 -0.03 -0.14 0.11 0.17 -0.37
8216 -0.57 0.33 0.31 0.02 -0.26 0.13 0.20 -0.05
8217 -0.87 0.06 -0.25 -0.25 0.23 0.21 0.02 -0.34
8219 -0.65 0.01 0.02 0.08 -0.17 0.07 0.18 -0.23
8227 1.05 -2.61 -0.56 1.78 3.88 0.19 3.46 -0.30
8229 -0.80 -0.22 0.63 0.09 0.32 0.22 0.47 0.15
8266 0.08 1.77 1.57 0.27 -1.07 1.05 1.20 -0.12
8267 -1.46 -0.73 -0.17 0.08 0.45 -0.25 0.17 0.08
8274 -1.56 -0.40 0.73 0.42 -0.11 0.23 0.92 0.40
8321 -1.08 -1.75 -0.05 0.53 -0.42 -0.05 0.05 0.69
8327 -1.89 -0.59 -0.41 -0.22 0.32 0.04 -0.13 -0.13
8348 -1.84 -1.58 -0.28 0.53 -0.27 -0.37 0.26 0.66
8354 -1.55 -0.58 -0.50 -0.33 0.39 0.11 -0.15 -0.25
8382 25.13 1.91 -25.95 4.25 2.62 9.76 15.65 -5.76
8383 -1.91 -0.72 -0.48 -0.10 0.28 0.03 0.03 -0.04
8391 -1.83 -0.44 -0.29 -0.18 0.51 -0.12 0.03 -0.19
8393 2.30 3.16 1.84 0.05 -1.16 0.35 0.99 -0.84
8404 -0.66 0.09 2.67 0.24 -1.30 2.11 2.24 0.73
8415 -1.64 -0.64 -0.27 -0.01 0.46 -0.03 0.15 0.05
8423 -2.14 -0.41 -0.40 -0.26 0.37 0.05 -0.16 -0.14
8449 1.33 -2.37 1.99 0.85 2.28 -1.79 1.11 -0.06
8452 -1.68 -1.20 -0.30 0.09 0.06 -0.01 -0.13 0.21
8453 -1.89 -1.36 -0.38 0.32 -0.18 -0.20 0.13 0.48
8454 0.32 -2.21 0.92 0.57 0.27 -0.41 0.08 0.48
8456 0.31 -1.56 2.30 1.91 3.23 -3.01 2.08 0.05
Now we can run PCR for calories as a response…
...
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 201.1200 1.5068 133.475 < 2e-16 ***
scrPC1 35.9805 0.7210 49.907 < 2e-16 ***
scrPC2 5.0377 0.9072 5.553 3.15e-08 ***
scrPC3 51.3592 1.0380 49.479 < 2e-16 ***
scrPC4 26.6879 1.1787 22.642 < 2e-16 ***
scrPC5 -55.3065 1.2083 -45.770 < 2e-16 ***
scrPC6 20.3169 1.2839 15.824 < 2e-16 ***
scrPC7 28.3220 1.3294 21.304 < 2e-16 ***
scrPC8 22.3124 1.4034 15.899 < 2e-16 ***
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 70.42 on 2175 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.7969, Adjusted R-squared: 0.7962
F-statistic: 1067 on 8 and 2175 DF, p-value: < 2.2e-16
...
Only 2 components are needed in PLS to achieve high predictive power for calories
, compared to 8 in PCR.
nuplsmod <- plsr(calories~., data=nutrition[,-c(1,28)], scale=TRUE, method="oscorespls")
summary(nuplsmod)
Data: X dimension: 2184 25
Y dimension: 2184 1
Fit method: oscorespls
Number of components considered: 25
TRAINING: % variance explained
1 comps 2 comps 3 comps 4 comps 5 comps 6 comps 7 comps
X 14.53 24.29 29.77 34.48 42.06 47.18 51.29
calories 69.29 89.08 94.64 97.56 98.41 99.10 99.35
8 comps 9 comps 10 comps 11 comps 12 comps 13 comps 14 comps
X 53.93 58.15 62.05 65.75 68.60 71.63 74.91
calories 99.48 99.51 99.51 99.51 99.52 99.52 99.52
15 comps 16 comps 17 comps 18 comps 19 comps 20 comps 21 comps
X 77.47 79.78 82.71 84.67 86.75 89.30 92.12
calories 99.52 99.52 99.52 99.52 99.52 99.52 99.52
22 comps 23 comps 24 comps 25 comps
X 94.66 96.10 97.89 100.00
calories 99.52 99.52 99.52 99.52
plsr
function’s validation
argument = "none"
(default), "CV"
, "LOO"
; see ?plsr
The minimum RSME occurs with 10 PLS components.
Data: X dimension: 2184 25
Y dimension: 2184 1
Fit method: oscorespls
Number of components considered: 25
VALIDATION: RMSEP
Cross-validated using 10 random segments.
(Intercept) 1 comps 2 comps 3 comps 4 comps 5 comps 6 comps
CV 156 93.99 57.90 41.57 30.76 22.10 17.64
adjCV 156 93.11 57.29 41.04 30.15 22.14 17.42
7 comps 8 comps 9 comps 10 comps 11 comps 12 comps 13 comps
CV 13.48 12.82 12.18 12.09 12.13 12.12 12.15
adjCV 13.42 12.67 12.09 12.01 12.04 12.04 12.07
14 comps 15 comps 16 comps 17 comps 18 comps 19 comps 20 comps
CV 12.15 12.14 12.14 12.13 12.13 12.13 12.13
adjCV 12.06 12.05 12.05 12.05 12.05 12.05 12.05
21 comps 22 comps 23 comps 24 comps 25 comps
CV 12.13 12.13 12.13 12.13 12.13
adjCV 12.05 12.05 12.05 12.05 12.05
TRAINING: % variance explained
1 comps 2 comps 3 comps 4 comps 5 comps 6 comps 7 comps
X 14.53 24.29 29.77 34.48 42.06 47.18 51.29
calories 69.29 89.08 94.64 97.56 98.41 99.10 99.35
8 comps 9 comps 10 comps 11 comps 12 comps 13 comps 14 comps
X 53.93 58.15 62.05 65.75 68.60 71.63 74.91
calories 99.48 99.51 99.51 99.51 99.52 99.52 99.52
15 comps 16 comps 17 comps 18 comps 19 comps 20 comps 21 comps
X 77.47 79.78 82.71 84.67 86.75 89.30 92.12
calories 99.52 99.52 99.52 99.52 99.52 99.52 99.52
22 comps 23 comps 24 comps 25 comps
X 94.66 96.10 97.89 100.00
calories 99.52 99.52 99.52 99.52
Compared with the 2 component PCR solution, it is quite a bit of improvement!
Call:
lm(formula = nutrition$calories ~ scr[, 1:2])
Residuals:
Min 1Q Median 3Q Max
-887.77 -92.51 -45.45 74.04 646.03
Coefficients:
Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept) 201.120 2.920 68.888 <2e-16 ***
scr[, 1:2]PC1 35.981 1.397 25.758 <2e-16 ***
scr[, 1:2]PC2 5.038 1.758 2.866 0.0042 **
---
Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Residual standard error: 136.4 on 2181 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.2355, Adjusted R-squared: 0.2348
F-statistic: 335.8 on 2 and 2181 DF, p-value: < 2.2e-16
Once we finalize the model, we can make predictions on new observations.
set.seed(1); n <- nrow(nutrition)
index <- sample(1:n, 0.7*n)
training_set <- nutrition[index, ]
testing_set <- nutrition[-index, ]
cv_mod <- plsr(calories~., data=training_set[,-c(1,28)],
scale=TRUE, method="oscorespls", validation="CV")
# summary(cv_mod) # <--------- suggests 10 components (again)
pls_pred <- predict(cv_mod, testing_set, ncomp=10)
# calculate test RMSE
y_test = testing_set$calories
sqrt(mean((pls_pred - y_test)^2))
[1] 12.24655
Comments
PCR can be viewed as a discretized regularizer, removing low variance components (but not entire predictors).
So it has some commonality with ridge regression, but due to ridge regression’s smooth regularization, ridge regression is often a better option than PCR.
Warning
There is absolutely no guarantee that higher variance components — which is with respect to the predictor space — contain more predictive power towards \(Y\)!