Data 311: Machine Learning

Lecture 17: Principal Component Regression and Partial Least Squares

Dr. Irene Vrbik

University of British Columbia Okanagan

Recap

Types of Learning recap

We spent much of this course in supervised learning which tries to learn the mapping between the \(\mathbf X\) and \(\mathbf y\).

\[ \mathbf X \rightarrow \mathbf y \]

In unsupervised learning we have no \(\mathbf y\) (“answers”) that we are aiming to predict; rather, we try to learn hidden patterns, structures, or relationships in the data

\[ \mathbf X \phantom{\rightarrow \mathbf y} \]

  • e.g. clustering, and dimensionality reduction

Clustering recap

Clustering seeks to partition a dataset into groups (clusters) based on the characteristics of the variables, without relying on predefined categories.

\[ \begin{array}{c} \text{cluster 1} \big[\\ \text{cluster 2} \big[\\ \text{cluster 3} \big[ \end{array} \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{cluster 1}} \\[8pt] \mathbf X \\[8pt] \phantom{\text{cluster 3}} \end{array} \right) \]

Dimensionality Reduction recap

Dimensionality Reduction aims to simplify a dataset by reducing the number of variables (e.g. \(p\) features to \(q\)) while preserving as much relevant information as possible.

\[ \underbrace{ \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{cluster 1}} \\[8pt] \mathbf X \\[8pt] \phantom{\text{cluster 3}} \end{array} \right) }_{\text{reduce}} \]

Dimensionality Reduction recap

Dimensionality Reduction aims to simplify a dataset by reducing the number of variables (e.g. \(p\) features to \(q\)) while preserving as much relevant information as possible.

\[ \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{cluster 1}} \\[8pt] \mathbf X_{n\times p} \\[8pt] \phantom{\text{cluster 3}} \end{array} \right) \underset{\text{transform}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{ 111}} \\[8pt] \mathbf{X}\mathbf{P}_{n \times M} \\[8pt] \phantom{\text{ 3}} \end{array} \right) \underset{\text{reduce}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{ 111}} \\[8pt] \mathbf{S}_{n \times q} \\[8pt] \phantom{\text{ 3}} \end{array} \right) \]

where \(\mathbf{P}\) is a \(p \times M\) matrix of eigenvectors (loadings) and \(\mathbf{S} = \mathbf{X}\mathbf{P}\), these are the scores.

Dimensionality Reduction recap

\[ \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{cluster 1}} \\[8pt] \mathbf X_{n\times p} \\[8pt] \phantom{\text{cluster 3}} \end{array} \right) \underset{\text{reduce}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{ 111}} \\[8pt] \mathbf{S}_{n \times q} \\[8pt] \phantom{\text{ 3}} \end{array} \right) \]

Dimensionality reduction vs feature selection

Unlike feature selection where we select important features, dimensionality reduction transforms the original features into a lower-dimensional space, creating new features that are combinations of the original ones.

Outline

Today we’ll be looking at the scenario where we reduce the dimension of our \(\mathbf{X}\) and use the smaller matrix \(\mathbf{S}_{n \times q}\) as our predictors for regression using: Principal Components Regression and Partial Least Squares

\[ \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{cluster 1}} \\[8pt] \mathbf X_{n\times p} \\[8pt] \phantom{\text{cluster 3}} \end{array} \right) \underset{\text{reduce}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{c} \phantom{\text{ 111}} \\[8pt] \mathbf{S}_{n \times q} \\[8pt] \phantom{\text{ 3}} \end{array} \right) \rightarrow \mathbf y \]

Aims of PCA

PCA (Principal Component Analysis) is a dimensionality reduction technique used to transform a dataset into a set of \(M\) linearly uncorrelated components (principal components), which explain the maximum variance in the data.1

  • can be use as a stand-alone method to understand the data

  • or as a preprocessing step to reduce noise or redundancy in the data

Benefits of PCA for preprocessing

  • \(\mathbf{S}_{n \times q}\) can now be used for downstream machine learning.

  • When used in regression it is called Principal Components Regression, or PCR for short.

  • The benefits of using \(\mathbf{S}_{n \times q}\) instead of \(\mathbf{X}_{n \times p}\) include:

    ✅ less parameters

    ✅ no multicollinearity

    ✅ reduced noise

    ❌ less interpretible

Review of PCA

Construct the PC: perform eigen decomposition on \(\boldsymbol{\Sigma}_{p \times p}\), the covariance matrix of \(\mathbf{X}_{n\times p}\)1, \[\boldsymbol{\Sigma} \approx \mathbf{P} \boldsymbol{\Lambda} \mathbf{P}'\]

Reduce: Retain \(q\) PC2 and calculate the scores using:

\[ \mathbf{S}_{n\times q} = \mathbf{X}_{n\times p}\mathbf{P}_{p \times q} \]

Principal Components Regression

If we have a continuous response variable \(Y\) we can easily assume the following model for linear regression \[Y = \beta_0 + \beta_1 S_1 + \beta_2 S_2 + \cdots + \beta_q S_q + \epsilon\] with all the usual linear regression assumptions (for inferential purposes). And that’s all there is to it!

Summary of PCR

  1. Perform PCA on the Predictor Variables (\(\mathbf {X}_{p\times p}\))
  2. Reduce data set: Select the top \(q\) PCs and transform your data from \(p\times p\) dimensions to \(n\times q\)
  3. Fit a Linear Regression Model: regress \(\mathbf y\) onto \(\mathbf S_{n\times q}\)
  4. Make Predictions!

PCR Deeper

  • If your retain all PC (i.e. \(q=M=p\)), then the model is equivalent to ordinary least squares (OLS) on the original \(p\) predictors.

  • Obviously the estimated coefficients differ, but your predictions \(\hat Y\) would be the same.

  • However, you’ve just taken care of the problem of multicollinearity!

Comments

  • PCR can be viewed as a discretized regularizer, removing low variance components (but not entire predictors).

  • So it has some commonality with ridge regression, but due to ridge regression’s smooth regularization, ridge regression is often a better option than PCR.

Warning

There is absolutely no guarantee that higher variance components — which is with respect to the predictor space — contain more predictive power towards \(Y\)!

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Purpose of PCR

What is the primary reason for using PCA in Principal Component Regression (PCR)?

  1. To ensure that all predictors are equally weighted in the model.

  2. To remove irrelevant features from the dataset.

  3. To transform the predictors into uncorrelated components and reduce dimensionality.

  4. To improve the interpretability of the regression coefficients.

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Limitations of PCR

What is a key limitation of interpreting Principal Component Regression (PCR) results?

  1. The regression coefficients are affected by multicollinearity.

  2. The response variable is ignored when selecting principal components.

  3. The model is sensitive to outliers in the data.

  4. Principal components are linear combinations of original predictors, making the results less interpretable.

Simulation

A cautionary tale …

Code
#PCR example
set.seed(311351)
x1 <- runif(40, 0, 10)
x2 <- 2*x1 + rnorm(40)
y <- x2-2*x1 + rnorm(40, sd=.1)

par(mar=c(5,4,0,0)+0.1)
plot(x1,x2)

Let’s add a \(Y\) response variable

pairs(cbind(y,x1, x2))

Fitted linear model

linmod <- lm(y~x1+x2)
summary(linmod)
...

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  0.007547   0.038730   0.195    0.847    
x1          -2.040311   0.043519 -46.883   <2e-16 ***
x2           1.020113   0.022127  46.103   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.1199 on 37 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9835,    Adjusted R-squared:  0.9826 
F-statistic:  1100 on 2 and 37 DF,  p-value: < 2.2e-16
...

PCA

pcs <- prcomp(cbind(x1, x2))
summary(pcs)
Importance of components:
                          PC1     PC2
Standard deviation     6.0766 0.39399
Proportion of Variance 0.9958 0.00419
Cumulative Proportion  0.9958 1.00000

PRCReg in R

library(pls)
plsmod <- plsr(y~x1+x2, method="oscorespls")
summary(plsmod)
Data:   X dimension: 40 2 
    Y dimension: 40 1
Fit method: oscorespls
Number of components considered: 2
TRAINING: % variance explained
   1 comps  2 comps
X   99.033   100.00
y    1.672    98.35

Regression on PC1

PC1_scores <- pcs$x[,1]
linpc <- lm(y~PC1_scores)
summary(linpc)
...

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)  0.08484    0.14517   0.584    0.562
PC1_scores   0.00834    0.02419   0.345    0.732

Residual standard error: 0.9181 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.003117,  Adjusted R-squared:  -0.02312 
F-statistic: 0.1188 on 1 and 38 DF,  p-value: 0.7322
...

Regression on PC2

PC2_scores <- pcs$x[,2]
linpc2 <- lm(y~PC2_scores)
summary(linpc2)
...

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  0.08484    0.02039   4.161 0.000174 ***
PC2_scores   2.28110    0.05241  43.527  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.1289 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9803,    Adjusted R-squared:  0.9798 
F-statistic:  1895 on 1 and 38 DF,  p-value: < 2.2e-16
...

Scaling

Note that scaling does not fix the problem …

pcss <- prcomp(cbind(x1, x2), scale.=TRUE)
summary(pcss)
Importance of components:
                          PC1     PC2
Standard deviation     1.4097 0.11337
Proportion of Variance 0.9936 0.00643
Cumulative Proportion  0.9936 1.00000

SLR on scaled PC1

scaledPC1_scores <- pcss$x[,1]
summary(lm(y~scaledPC1_scores))
...

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
(Intercept)       0.08484    0.14463   0.587    0.561
scaledPC1_scores  0.06621    0.10390   0.637    0.528

Residual standard error: 0.9147 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.01057,   Adjusted R-squared:  -0.01546 
F-statistic: 0.4061 on 1 and 38 DF,  p-value: 0.5278
...

SLR on scaled PC1

scaledPC2_scores <- pcss$x[,2]
summary(lm(y~scaledPC2_scores))
...

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)       0.08484    0.02394   3.543  0.00107 ** 
scaledPC2_scores  7.89705    0.21389  36.921  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.1514 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9729,    Adjusted R-squared:  0.9722 
F-statistic:  1363 on 1 and 38 DF,  p-value: < 2.2e-16
...

Pairsplot

pairs(cbind(y,pcss$x))

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Assumption of PCR

What is the key assumption underlying Principal Component Regression?

  1. The predictors are linearly independent.

  2. Most of the information relevant to the response variable is contained in the components explaining the largest variance.

  3. The response variable is normally distributed.

  4. All principal components equally contribute to the prediction

Comments

  • Clearly PCR has some issues that need fixing…

  • One simple approach is to instead consider all \(p\) PCs, then perform standard stepwise regression procedures (or other variable selection or regularization technique).

  • This would fix the issue with our simulation, but would not cover all potential issues.

  • Leaving the problems aside for a moment, note that PCs can be used as predictors in any supervised context (random forests, neural nets, discriminant analysis, etc).

Partial Least Squares

  • Another approach is to somehow consider the response variable \(Y\) while performing the PCA in the first place!

  • Partial Least Squares (PLS) does exactly this.

  • It seeks linear combos of predictors that have high variance AND high correlation with \(Y\).

  • Just like PCA, it is not scale invariant. Therefore, the predictors are generally scaled to have mean 0 variance 1.

PLS algorithm

From Elements of Statistical Learning (for the interested reader only)

PLS Steps

  1. Standardize both the predictor and response variables.
  2. Calculate \(q\) PLS components that explain a significant amount of variation in both the response variable and the predictor variables.
  3. Use the method of least squares to fit a linear regression model using the PLS components as predictors.

PLS in R

We do this in R using the plsr function from the pls package

plsr(..., method = pls.options()$plsralg)

The options for the method argument include:

  • "kernelPLS" (default): kernelized version of PLS.
  • "simpls": uses the SIMPLS (SIMultaneous PLS) algorithm
  • "oscorespls": computes orthogonal scores during the PLS iterations
  • "simpls.linear" variant of SIMPLS that ensures the weights of the X and Y variables are orthogonal.

PLS in R

library(pls)

plsmod <- plsr(y~x1+x2, method= "oscorespls")
summary(plsmod)
Data:   X dimension: 40 2 
    Y dimension: 40 1
Fit method: oscorespls
Number of components considered: 2
TRAINING: % variance explained
   1 comps  2 comps
X   99.033   100.00
y    1.672    98.35

PLS scores

pairs(cbind(y, plsmod$scores))

Notice that the % variance explained in the PLS output is the equivalent to the R-squared value obtained when regressing y on the first two PLS components:

y_c <- y - mean(y)
pls_lm <- lm(y_c ~  plsmod$scores[,1] + plsmod$scores[,2])
summary(pls_lm)
...

Coefficients:
                     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)        -3.007e-15  1.895e-02   0.000        1    
plsmod$scores[, 1]  2.935e-02  4.800e-03   6.114  4.4e-07 ***
plsmod$scores[, 2]  1.491e+00  3.206e-02  46.496  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 0.1199 on 37 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9835,    Adjusted R-squared:  0.9826 
F-statistic:  1100 on 2 and 37 DF,  p-value: < 2.2e-16
...

PLS Comments

  • There are PLS versions for classification tasks as well (PLS-DA for example), and plenty of extensions/refinement.
  • It is the predominant model in several applied fields (some chemistry fields, sensory sciences, marketing, and more).
  • This is likely due to its inherent interpretability (linear combos), in addition to being an early solution to the problem of moderate-to-high dimensionality.

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PCR vs PLS

How does PLS differ from Principal Component Regression (PCR)?

  1. PLS transforms both \(\mathbf X\) and \(\mathbf y\) while PCR only transforms \(\mathbf y\) .

  2. PLS maximizes the covariance between \(\mathbf X\) and \(\mathbf y\), while PCR selects components based only on the variance in \(\mathbf X\) .

  3. PLS is a classification technique, while PCR is a regression technique.

  4. PLS uses nonlinear components, while PCR uses linear components.

Example: Nutrition

  • Now we’ll look at application of Principal Component Regression (PCR) and Partial Least Squares Regression (PLSR) to a nutrition dataset.

  • The goal is to predict the calories variable based on other features (e.g. protein, calcium, fat, … )

  • You can download the data on my webpage: https://irene.vrbik.ok.ubc.ca/data/nutritrion.rdata

load("data/nutrition.rdata"); (nutrition <- na.omit(nutrition))

PCA on nutrition

# remove name, calories (our Y response), and group
X <- nutrition[,-c(1,2, 28)]

# run PCA
nupca <- prcomp(X, scale.=TRUE) ; summary(nupca)
Importance of components:
                          PC1    PC2     PC3    PC4     PC5     PC6     PC7
Standard deviation     2.0905 1.6613 1.45197 1.2787 1.24728 1.17387 1.13369
Proportion of Variance 0.1748 0.1104 0.08433 0.0654 0.06223 0.05512 0.05141
Cumulative Proportion  0.1748 0.2852 0.36953 0.4349 0.49715 0.55227 0.60368
                           PC8     PC9    PC10    PC11    PC12    PC13    PC14
Standard deviation     1.07393 0.98081 0.95224 0.92905 0.85969 0.83157 0.78987
Proportion of Variance 0.04613 0.03848 0.03627 0.03453 0.02956 0.02766 0.02496
Cumulative Proportion  0.64982 0.68830 0.72457 0.75909 0.78865 0.81631 0.84127
                          PC15    PC16    PC17    PC18    PC19    PC20   PC21
Standard deviation     0.77604 0.76121 0.70758 0.64976 0.62872 0.59025 0.5678
Proportion of Variance 0.02409 0.02318 0.02003 0.01689 0.01581 0.01394 0.0129
Cumulative Proportion  0.86536 0.88854 0.90856 0.92545 0.94126 0.95520 0.9681
                          PC22    PC23    PC24    PC25
Standard deviation     0.53484 0.46515 0.40082 0.36685
Proportion of Variance 0.01144 0.00865 0.00643 0.00538
Cumulative Proportion  0.97954 0.98819 0.99462 1.00000

How many components

To explain 65% of the variation we retrain 8 PCs

scr <- nupca$x[,1:8]; round(scr,2)
       PC1    PC2    PC3    PC4    PC5    PC6    PC7   PC8
1    -0.17   3.99   6.03   0.64  -2.65   5.49   4.69  1.68
2    -0.17   3.95   5.97   0.63  -2.61   5.43   4.64  1.67
3     0.12   4.85   7.28   0.73  -3.49   6.89   5.52  2.01
4     0.65   1.89   2.66   0.33   0.55   0.87   1.63  0.29
5     0.62   1.90   2.97   0.36   0.82   0.91   1.50  0.42
6     0.30   2.13   1.85   0.06  -0.22   1.21   1.19  0.49
7     0.42   1.75   1.93   0.20   0.49   0.74   1.27  0.28
9     0.87   2.13   3.40   0.46   0.78   1.06   1.68  0.39
11    0.76   2.01   3.20   0.41   0.72   1.05   1.59  0.39
12   -1.35   0.21   0.08  -0.20   0.54  -0.19   0.05 -0.18
13   -1.41   0.19   0.02  -0.20   0.41  -0.08   0.04 -0.16
14   -1.35  -0.02  -0.14  -0.19   0.69  -0.45  -0.09 -0.17
15   -1.36   0.15  -0.03  -0.19   0.59  -0.32  -0.05 -0.19
16   -1.42   0.16  -0.16  -0.24   0.58  -0.34  -0.11 -0.24
17   -0.81   1.52   2.26   0.11  -0.56   1.96   1.75  0.59
18    0.89   1.90   3.01   0.37   1.11   0.59   1.33  0.36
19    0.92   1.77   1.45   0.52   0.58   0.53   1.38  0.51
20    0.41   2.23   2.97   0.23   0.49   1.04   1.33  0.48
22    0.80   1.99   3.04   0.35   1.06   0.57   1.28  0.39
23    1.24   2.13   3.65   0.53   1.45   0.57   1.48  0.29
24    0.45   1.82   2.37   0.34   0.59   0.80   1.49  0.43
25    0.74   1.94   3.11   0.42   0.86   0.88   1.49  0.31
26    0.15   1.64   2.13   0.13   0.79   0.46   0.81  0.43
27    0.22   1.62   2.54   0.29   0.79   0.62   1.23  0.24
28    0.33   1.17   2.08   0.29   1.50  -0.15   0.76  0.00
29    0.61   1.44   2.19   0.33   1.38  -0.09   0.75  0.18
30    0.67   1.94   3.11   0.36   0.91   0.89   1.51  0.43
32    1.78   2.17   3.66   0.68   1.98  -0.12   1.50  0.34
33    1.53   1.77   3.59   0.74   2.03  -0.16   1.52 -0.01
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267   5.54  -6.21   2.24  -1.66   0.17   1.15  -3.95  1.58
268  -0.80  -0.82  -0.57  -0.37   0.99   0.66  -0.18  0.11
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278  -1.41  -0.57   0.01   0.20   0.74  -0.41   0.35 -0.03
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1916  0.74  -1.95  -1.11   3.11  -3.37  -2.46   0.19  1.83
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4504 -0.39   1.30   0.12  -0.14   0.15  -0.24   0.26  0.16
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4836  4.69  -1.42   1.42  -0.60  -0.25   0.68  -1.15 -0.91
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8354 -1.55  -0.58  -0.50  -0.33   0.39   0.11  -0.15 -0.25
8382 25.13   1.91 -25.95   4.25   2.62   9.76  15.65 -5.76
8383 -1.91  -0.72  -0.48  -0.10   0.28   0.03   0.03 -0.04
8391 -1.83  -0.44  -0.29  -0.18   0.51  -0.12   0.03 -0.19
8393  2.30   3.16   1.84   0.05  -1.16   0.35   0.99 -0.84
8404 -0.66   0.09   2.67   0.24  -1.30   2.11   2.24  0.73
8415 -1.64  -0.64  -0.27  -0.01   0.46  -0.03   0.15  0.05
8423 -2.14  -0.41  -0.40  -0.26   0.37   0.05  -0.16 -0.14
8449  1.33  -2.37   1.99   0.85   2.28  -1.79   1.11 -0.06
8452 -1.68  -1.20  -0.30   0.09   0.06  -0.01  -0.13  0.21
8453 -1.89  -1.36  -0.38   0.32  -0.18  -0.20   0.13  0.48
8454  0.32  -2.21   0.92   0.57   0.27  -0.41   0.08  0.48
8456  0.31  -1.56   2.30   1.91   3.23  -3.01   2.08  0.05

Run PRC

Now we can run PCR for calories as a response…

PCRmod <- lm(nutrition$calories ~ scr); summary(PCRmod)
...

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) 201.1200     1.5068 133.475  < 2e-16 ***
scrPC1       35.9805     0.7210  49.907  < 2e-16 ***
scrPC2        5.0377     0.9072   5.553 3.15e-08 ***
scrPC3       51.3592     1.0380  49.479  < 2e-16 ***
scrPC4       26.6879     1.1787  22.642  < 2e-16 ***
scrPC5      -55.3065     1.2083 -45.770  < 2e-16 ***
scrPC6       20.3169     1.2839  15.824  < 2e-16 ***
scrPC7       28.3220     1.3294  21.304  < 2e-16 ***
scrPC8       22.3124     1.4034  15.899  < 2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 70.42 on 2175 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.7969,    Adjusted R-squared:  0.7962 
F-statistic:  1067 on 8 and 2175 DF,  p-value: < 2.2e-16
...

PLS on Nutrition

Only 2 components are needed in PLS to achieve high predictive power for calories, compared to 8 in PCR.

nuplsmod <- plsr(calories~., data=nutrition[,-c(1,28)], scale=TRUE, method="oscorespls")
summary(nuplsmod)
Data:   X dimension: 2184 25 
    Y dimension: 2184 1
Fit method: oscorespls
Number of components considered: 25
TRAINING: % variance explained
          1 comps  2 comps  3 comps  4 comps  5 comps  6 comps  7 comps
X           14.53    24.29    29.77    34.48    42.06    47.18    51.29
calories    69.29    89.08    94.64    97.56    98.41    99.10    99.35
          8 comps  9 comps  10 comps  11 comps  12 comps  13 comps  14 comps
X           53.93    58.15     62.05     65.75     68.60     71.63     74.91
calories    99.48    99.51     99.51     99.51     99.52     99.52     99.52
          15 comps  16 comps  17 comps  18 comps  19 comps  20 comps  21 comps
X            77.47     79.78     82.71     84.67     86.75     89.30     92.12
calories     99.52     99.52     99.52     99.52     99.52     99.52     99.52
          22 comps  23 comps  24 comps  25 comps
X            94.66     96.10     97.89    100.00
calories     99.52     99.52     99.52     99.52

Cross-validation

  • Another way to choose the Number of PLS Components is by cross-validation
  • This feature is actually built in to the plsr function’s validation argument = "none" (default), "CV", "LOO"; see ?plsr
set.seed(1)
cv_mod <- plsr(calories~., data=nutrition[,-c(1,28)], 
               scale=TRUE, method="oscorespls", validation="CV")

The minimum RSME occurs with 10 PLS components.

summary(cv_mod)
Data:   X dimension: 2184 25 
    Y dimension: 2184 1
Fit method: oscorespls
Number of components considered: 25

VALIDATION: RMSEP
Cross-validated using 10 random segments.
       (Intercept)  1 comps  2 comps  3 comps  4 comps  5 comps  6 comps
CV             156    93.99    57.90    41.57    30.76    22.10    17.64
adjCV          156    93.11    57.29    41.04    30.15    22.14    17.42
       7 comps  8 comps  9 comps  10 comps  11 comps  12 comps  13 comps
CV       13.48    12.82    12.18     12.09     12.13     12.12     12.15
adjCV    13.42    12.67    12.09     12.01     12.04     12.04     12.07
       14 comps  15 comps  16 comps  17 comps  18 comps  19 comps  20 comps
CV        12.15     12.14     12.14     12.13     12.13     12.13     12.13
adjCV     12.06     12.05     12.05     12.05     12.05     12.05     12.05
       21 comps  22 comps  23 comps  24 comps  25 comps
CV        12.13     12.13     12.13     12.13     12.13
adjCV     12.05     12.05     12.05     12.05     12.05

TRAINING: % variance explained
          1 comps  2 comps  3 comps  4 comps  5 comps  6 comps  7 comps
X           14.53    24.29    29.77    34.48    42.06    47.18    51.29
calories    69.29    89.08    94.64    97.56    98.41    99.10    99.35
          8 comps  9 comps  10 comps  11 comps  12 comps  13 comps  14 comps
X           53.93    58.15     62.05     65.75     68.60     71.63     74.91
calories    99.48    99.51     99.51     99.51     99.52     99.52     99.52
          15 comps  16 comps  17 comps  18 comps  19 comps  20 comps  21 comps
X            77.47     79.78     82.71     84.67     86.75     89.30     92.12
calories     99.52     99.52     99.52     99.52     99.52     99.52     99.52
          22 comps  23 comps  24 comps  25 comps
X            94.66     96.10     97.89    100.00
calories     99.52     99.52     99.52     99.52

validationplot(cv_mod)

Regression fit on PLS

Compared with the 2 component PCR solution, it is quite a bit of improvement!

PCRmod2 <- lm(nutrition$calories ~ scr[,1:2])
summary(PCRmod2)

Call:
lm(formula = nutrition$calories ~ scr[, 1:2])

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-887.77  -92.51  -45.45   74.04  646.03 

Coefficients:
              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)    201.120      2.920  68.888   <2e-16 ***
scr[, 1:2]PC1   35.981      1.397  25.758   <2e-16 ***
scr[, 1:2]PC2    5.038      1.758   2.866   0.0042 ** 
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Residual standard error: 136.4 on 2181 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.2355,    Adjusted R-squared:  0.2348 
F-statistic: 335.8 on 2 and 2181 DF,  p-value: < 2.2e-16

Making Predictions

Once we finalize the model, we can make predictions on new observations.

set.seed(1); n <- nrow(nutrition)
index <- sample(1:n, 0.7*n)
training_set <- nutrition[index, ]
testing_set <- nutrition[-index, ]

cv_mod <- plsr(calories~., data=training_set[,-c(1,28)], 
               scale=TRUE, method="oscorespls", validation="CV")
# summary(cv_mod) # <--------- suggests 10 components (again)

pls_pred <- predict(cv_mod, testing_set, ncomp=10)

# calculate test RMSE
y_test = testing_set$calories
sqrt(mean((pls_pred - y_test)^2))
[1] 12.24655